Çarpanlara Ayırma

Çarpanlara Ayırma, bir polinomun veya tam sayının kendisini oluşturan bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır.Örneğin 28 sayısı 7 ve 4 sayılarının çarpımı şeklinde yazılabilir:7.4,ya da x kare eksi 4 polinomu (x-2).(x+4) şeklinde yazılabilir.Çarpanlara ayırmadaki asıl amaç bir bütünü daha küçük parçalara ya da bir polinomu indirgenemeyen diğer polinomlara kadar ayırmaktır.
Çarpanlara ayırma
işlemine bir nevi sadeleştirme işlemi de diyebiliriz.Çarpanlara ayırma işleminin tersi işleme de genişletme işlemi denilmektedir.

Çarpanlara ayırma ile ilgili soruları çözer iken özdeşliklerden de faydalanırız.Özdeşlikler,içerisindeki bilinmeyenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere denir.Çarpanlara ayırma sorularında ve çözümlerinde kullandığımız bazı önemli özdeşlikler vardır.Bunlar aşağıda sıralanmıştır.
  • Tam kare özdeşliği:Çarpanlara ayırma sorularında sıkça sorulan bir özdeşlik olan bu konunun da 3 temel biçimi vardır.Bunlar:İki sayının toplamının karesi,iki sayının farkının karesi ve üç sayının toplamının karesidir.
  • iki terimin toplamının karesi:(a+b) ifadesinin karesi:a kare+b kare+2.a.b
  • iki terimin farkının karesi:(a-b) ifadesinin karesi:a kare+b kare-2.a.b
  • üç terimin toplamının karesi:(a+b+c) ifadesinin karesi:a kare+b kare+c kare+2.(a.b+a.c+b.c) şeklindedir.
  • İki terimin toplamı veya farkının küpü:Birinci terimin küpü,birinci terimin karesi ile ikinci terimin çarpımının 3 katı,birinci terim ile ikinci terimin karesinin çarpımının 3 katı,ikinci terimin küpü bu ifadelerin toplanması ya da çıkartılması şeklinde olan ifadelerdir.
    Bu tarz açılımlara binom açılımı da söylenmektedir.
  • iki terimin toplamının küpü:(a+b) ifadesinin küpü:a küp+3.a kare.b+3.a.b kare+b küp
  • iki terimin farkının küpü:(a-b) ifadesinin küpü:a küp-3.a kare.b+3.a.b kare-b küp şeklindedir.
Bu özdeşlikler bu şekilde devam etmektedir.Paskal üçgeni yardımı ile 4,5,6... derecelerdeki iki terimli sayıların toplamının veya farkının özdeşliklerini yazabiliriz.
  • İki kare farkı özdeşliği: İki terim toplamı ile iki terim farkının çarpımının;birincisinin karesi ile ikincisinin farkına eşit olur.
(a+b).(a-b)=a kare-b kare
Özdeşlikleri daha iyi anlamak için bir kaç örnek çözelim.
Örnek:İki sayının toplamı 17,kareleri toplamı 145 ise bu sayıların çarpımı kaçtır?
Çözüm:x kare+y kare=(x+y) ifadesinin karesi-2.x.y
2.x.y=289-145
2.x.y=144
x.y=72
Sonuç:72

Çarpanlara ayırma da bazı bilmemiz gereken kurallar vardır.Bunlar aşağıda verilmiştir.
  • Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma:Her terimde ortak olarak bulunan terimler parantez dışına alınır.Her terimin ortak çarpana bölümü de parantez içine alınır.
Örnek:5a+5b=5(a+b)
  • Gruplandırma yaparak çarpanlara ayırma:Bütün terimlerde ortak çarpan yok ise işlemi kolaylaştırmak amacı ile ifadeleri ikişer ikişer,üçer üçer gruplandırma yaparak çarpanlara ayırırız.
Örnek:xy-xb-yb+b kare=x(y-b)+b(b-y)
  • Bir terim ekleyip çıkararak çarpanlara ayırma:Verilen ifade çarpanlarına ayrılamıyor ise uygun bir terim ekleme çıkarma yöntemi ile tam kare veya iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir.
  • x kare+bx+c şeklindeki üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırma:Çarpımları c olan,toplamları b olan iki tam sayı bulunur.Bu iki tam sayının çarpımları pozitif ise işaretleri aynı olur,eğer çarpımları farklı ise işaretleri farklı olur.Eğer bu iki sayının toplamları pozitif ise sayıların ikisinin işareti de pozitif olur.Eğer bu iki sayının toplamları negatif olursa sayıların ikisinin işareti de negatif olmalıdır.Çarpımları negatif toplamları pozitif olma durumlarında ise çarpım durumunda ki sayıların büyük olanının işareti pozitif olmalıdır.Bu durumun tersi de geçerlidir.Yani çarpımları negatif toplamları negatif olma durumunda da çarpım durumunda ki sayılardan büyük olanının işareti negatif olmak zorundadır.Bu durumu şöyle bir örnek vererek açıklayabiliriz.
Örnek:xkare+5x+6 ifadesini çarpanlara ayıralım.
Çözüm:6 sayısının çarpanlarını topladığımız zaman 5 sayısını elde etmemiz gerekmektedir.Bunun için 2 ve 3 sayılarını çarpan olarak kullanabiliriz.Bu durumda ifademiz (x+3).(x+2) şeklinde ifade edilebilir.
  • ax kare+bx+c şeklindeki üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırma:Böyle durumlar da a ve c sayıları çarpanlarına ayrılır. A'nın çarpanlarına m ve n diyelim. C'nin çarpanlarına da k ve l diyelim.Eğer m ve l sayılarının çarpımının toplamı ile n ve k sayılarının çarpımının toplamı b sayısını veriyorsa ifadenin yazılımı (mx+k).(nx+l) şeklinde olmalıdır.Yani çapraz çarpıyor isek düz bir şekilde topluyoruz.Eğer düz çarpar isek çapraz şekilde toplamamız gerekir.Şimdi bu durumu bir örnek vererek açıklayalım.
Örnek:6x kare+7x-3 ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözüm:3 sayısını 3 ve (-1) şeklinde çarpanlarına ayırırız.7 sayısı pozitif olduğu için büyük sayıya yani 3 sayısına pozitif işaret verdik.6 sayısı çarpanlarına iki şekilde ayrılır.Bunlar 6 ve 1 sayıları ya da 3 ve 2 sayıları olarak ama 6 ve 1 sayılarını kullandığımız zaman 7 sayısına ulaşamayız.Bu yüzden 3 ve 2 sayılarını kullanırız.3 ve 3 sayılarının çarpımının sonucu 9 eder ve 2 ve (-1) sayılarının çarpımının sonucu (-2) eder son olarak ta 9 ve (-2) sayılarını toplar isek 7 sayısına ulaşabiliriz.Bu durumda ifademizi (3x-1).(2x+3) şeklinde çarpanlarına ayırmış olarak yazabiliriz.

İyi Çalışmalar arkadaşlar.

Çarpanlara Ayırma Yorumları

şifre Kırmızı sayıyı girin

3 Yorum Yapılmış "Çarpanlara Ayırma"
En Başta Belirtilmiş Olan X Kare Eksi 4 Polinomu (X-2)(x+2) Şeklinde Düzeltilmesi Gerekiyor. Emeğiniz İçin Teşekkürler.
Taha Mermer . 2015-04-20 / 4,5
CEVAP YAZ
Çarpım Tablosunu Sizin Sayenizde Oğrendim
Yaren . 2015-02-04 / 4,5
CEVAP YAZ
Çarpım Tablosu Bize Her Yerde Yardım Eder. Herkez Öğrenmeli Herkez.
Elif Güneş . 2015-02-04 / 4,5
CEVAP YAZ
Çarpım Tablosu 2'ler
1’ler çarpım tablosunu ezberleyen öğrenci artık 2’ler çarpım tablosunu ezberlemeye başlayabilir. 2 sayısı matematikte 1 sayısının ardından gelir. Çarpım tablosunda 1’ler den sonraki sıralama 2’ler çarpım tablosundadır. Çarpımın ne demek olduğunu iyic...
Çarpım Tablosu Nasıl Öğrenilir
Tekerlemeli Çarpım Tablosu Çocukların en fazla zorlandıkları ödevlerden biri de çarpım tablosunu ezberlemektir. Sizin için derlediğimiz tekerlemeli çarpım tablosu ile ezber yapmak eğlenceli hale gelecek… 2’ ler BESLENME 1×2=2 hani ço...
Çarpım Tablosu Ezberleme
Çarpım tablosu tüm dünyada kullanılan, sayısal derslerde önemli bir bilgidir. Bireylerin çarpım tablosunu en uygun yaşlarda ezberlemesi gerekir. Erken yaşta öğrenilen her bilgi kalıcı olmaktadır. Bu bilgi ilköğretimden itibaren tüm eğitim yaşamında g...
Çarpım Tablosu
Çarpım tablosu ilköğretimden itibaren çocukların öğrenmesi gereken, sayısal derslerin kavranması açısından oldukça önemli bir bilgidir. Tarihte ilk kez 1800 yıl kadar önce Çin’de kullanılmaya başlanan çarpım tablosu, pek çok matematiksel işlemin kola...
Çarpım Tablosu Alıştırmalar
...
Çarpım Tablosu Nasıl Öğretilir
Eski öğretim dönemlerinde çarpım tablosuna körü körüne ezberlenmesi gereken liste gözüyle bakıldığından, neyi ne için hesapladığımızı bilemediğimiz için akıllardan çabucak çıkan sıkıcı bir çizelge olarak görürdük. Neden ve sonucunu bilmediğimiz ...
Çarpım Tablosu 8'ler
Artık çarpım tablosunda 8’ler çarpım tablosunu ezberlemeye başlayabiliriz. Bu aşamaya kadar zevkle ezberlediğimiz ve öğrendiğimiz çarpım tablosunda, zorlanmadan ilerliyoruz. Yapacağımız pek çok sayısal işlemi kısaltan, pratik şekilde sonuca gitmemize...
Çarpım Tablosu 10lu Test
...
Çarpım Tablosu 7'ler
1’den 6’lara kadar olan çarpım tablosunu öğrenmiş olanlar için sıra 7’ler çarpım tablosuna geldi. Bu aşamada sayıların 7 katını bulacağız. Öğrenciler çarpım sırasında ele edilen sonuçla bağlantıyı kurabildiği sürece, bunu ezberlemekte sorun yaşamazla...
Çarpım Tablosu 9'lar
Yavaş yavaş çarpım tablosunun sonuna gelmeye başladık. Artık hepimiz çarpım tablosunun ne kadar önemli olduğunu kavradık. 9 sayısını gözünüzde büyütmeyin. Çarpım tablosu sayesinde her sayının 9 katını bulmak bu şekilde daha kolay olacak. Ben 9’lar ça...
Çarpım Tablosu 6'lar
Çarpım tablosu giderek büyüse de, öğrenciler bunu sorun etmeyecektir. 6’lar çarpım tablosunu da zevkle ezberleyecekler. Matematik işlemlerini daha kolay yapabileceklerini öğrendikçe, çarpım tablosu onlar için en iyi yardımcı olacaktır. Hatta bunu ezb...
Çarpım Tablosu 4'ler
1’ler, 2’ler ve 3’ler çarpım tablosunu ezberlememiş olan bir öğrenci için sıra 4’ler çarpım tablosuna geldi. Çarpımı iyi kavramış olan bir öğrenci için bu hiç te zor olmayacak. Eğlenceli bir şekilde çarpım tablosunu kendi ezberlemeye başlayacak. Çünk...
Çarpım Tablosu 3'ler
1’ler, 2’ler çarpım tablosunu ezberlemiş olan öğrenciler için şimdiki aşama 3’ler çarpım tablosunun ezberlenmesine geldi. Çarpım tablosu giderek zorlaşıyor gibi görünse de, önceden çarpım işlemini kavramış olan öğrenciler için aslında daha kolay aşam...
Kesirlerde Çarpma
Kesirler de Çarpma işlemi yapılır iken paylar çarpılıp çarpımın sonucu paya, paydalar çarpılıp çarpımın sonucu paydaya yazılır.Örnek: 2/3 kesri ile 4/5 kesrini çarpalım.Çözüm:2.4=8 3.5=15Sonuç:8/15Kesirler de Çarpma işleminde tam sayılı kesir var is...

Çarpım Tablosu 2'ler

1’ler çarpım tablosunu ezberleyen öğrenci artık 2’ler çarpım tablosunu ezberlemeye başlayabilir. 2 sayısı matematikte 1 sayısının ardından gelir. Çarpım tablosunda 1’ler den sonraki sıralama 2’ler çarpım tablosundadır. Çarpımın ne demek olduğunu iyic...

Çarpım Tablosu Nasıl Öğrenilir

Tekerlemeli Çarpım Tablosu Çocukların en fazla zorlandıkları ödevlerden biri de çarpım tablosunu ezberlemektir. Sizin için derlediğimiz tekerlemeli çarpım tablosu ile ezber yapmak eğlenceli hale gelecek… 2’ ler BESLENME 1×2=2 hani ço...

Çarpım Tablosu Nedir ?

Birden dokuza kadar birbiriyle çarpılan sayıların çarpımlarını gösteren çizelge, çarpım cetveli, kerrat cetveli denir.1800 yıl önce Çin’de kullanılmaya başladığı üzerine bilgiler var ama tam olarak kimin oluşturduğu bilinmemektedir....

Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi

Üslü sayılarda çarpma işlemi, üslü sayı bir sayının kendisi ile çarpımının pratik bir biçimde ve kısa yoldan gösterilmesi demektir. Üslü sayıların bir diğer adı da üstel sayılardır. Matematikte üslü sayılarda çar...

4 Basamaklı Sayılarla Çarpma İşlemi

...

Çarpım Tablosu Tarihçesi

1800 yıl önce Çin'de kullanılmaya başladığı üzerine bilgiler var ama tam olarak kimin oluşturduğu bilinmemektedir.bazı yerlerde -M.Ö. VI. yy.da yaşamış ünlü Yunan filozof ve matematikçisi -Pithagoras bulduğu yazar Birden dokuza k...

2 Basamaklı Sayılarla Çarpma İşlemi

...

3 Basamaklı Sayılarla Çarpma İşlemi

...

Asal Çarpanlara Ayırma

Asal çarpanlara ayırma, bileşik sayının asal sayılardan hangilerine bölündüğünü ya da diğer bir deyişle; bir sayının hangi asal sayıların çarpılmasıyla meydana geldiğini bulma işlemidir.Bilindiği üzere asal sayılar 1 ve kend...

Çarpım Tablosu 1'ler

Çarpım tablosunu yeni öğrenen öğrenciler buna 1’ler çarpım tablosu ile başlamalıdır. 1’ler çarpım tablosu hem ilk aşama, hem de çarpım tablosunun en kolay aşamasıdır. Çünkü her sayının 1 ile çarpımı kendisini verir. Yani hangi sayı 1 ile çarpılsa ...

Çarpım Tablosu 5'ler

Artık çarpım tablosunun yarısına kadar geldik. 1’ler çarpım tablosundan başlayarak, 5’ler çarpım tablosuna gelen bir öğrenci için bu daha kolay hale gelir. Çarpım işlemini kavramış ve bunu nasıl kullanacağını öğrenmiş olduğundan, zevkle çarpım tab...

Çarpım Tablosu 10'lar

En son olarak 10’lar çarpım tablosunu ezberleyeceğiz. Bu aşamada işimiz biraz daha kolay olacak. Çünkü 10 ile çarpma yapmak çok kolay. Yine her sayının 10 katını bulacağımız bu çarpım tablosunda, sayılara bir sıfır eklediğimizde sonucu bulmuş olac...

Tam Sayılarda Çarpma

Tam sayılarda çarpma işlemi,terimleri aynı olan sayıların toplama işleminin kısa yoldan yapılmış biçimidir. Örneğin; -2-2-2=-6 işleminde 3 tane -2 sayısı toplanmıştır. Bu işlem kısaca 3.-2=-6 şeklinde de yapılabilir. T...

Çarpım Tablosu Ezberlemek Neden Zordur

Çarpım tablosu matematiksel işlemlerin yapılmasında her zaman ihtiyaç duyulan bir bilgidir. Öğrencilerin bunu ilköğretim seviyesinden itibaren ezberlemesi gerekir. Çünkü eğitim aşamalarında her zaman çarpım tablosuna ihtiyaç duyulacaktır. Erken ya...

Çarpım Tablosu İle İlgili Kaynaklar

Çarpma ve çarpım tablosu ile ilgili bazı kaynaklarİlköğretim düzeyindeki bazı çocuklar çarpım tablosunu öğrenmekte zorlanmaktadır. Üçüncü ve dördüncü sınıf müfredatında önemli bir yer tutan çarpma işlemi bu sınıflardaki ...

Çarpım Tablosu Videoları

Çarpım Tabosu'nu En Kolay Aşağıdaki Videolardan Öğrene Bilirsiniz.