Çarpanlara Ayırma Nedir ve Nasıl Yapılır?

Çarpanlara Ayırma

Çarpanlara ayırma, bir polinomun veya tam sayının kendisini oluşturan bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır. Örneğin, 28 sayısı 7 ve 4 sayılarının çarpımı şeklinde yazılabilir: 7 * 4 veya x² - 4 polinomu (x - 2)(x + 2) olarak ifade edilebilir. Çarpanlara ayırmadaki asıl amaç, bir bütünü daha küçük parçalara veya bir polinomu indirgenemeyen diğer polinomlara kadar ayırmaktır. Çarpanlara ayırma işlemine bir nevi sadeleştirme işlemi de diyebiliriz. Çarpanlara ayırma işleminin tersi işleme de genişletme işlemi denilmektedir.

Çarpanlara Ayırma İşlemlerinde Kullanılan Özdeşlikler

Çarpanlara ayırma ile ilgili sorular çözerken özdeşliklerden de faydalanırız. Özdeşlikler, içerisindeki bilinmeyenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere denir. Çarpanlara ayırma sorularında ve çözümlerinde kullandığımız bazı önemli özdeşlikler vardır. Bunlar aşağıda sıralanmıştır:

Tam kare özdeşliği: Çarpanlara ayırma sorularında sıkça sorulan bir özdeşliktir. Bu konunun 3 temel biçimi vardır. Bunlar: İki sayının toplamının karesi, iki sayının farkının karesi ve üç sayının toplamının karesidir.
İki terimin toplamının karesi: (a + b)² = a² + b² + 2ab
İki terimin farkının karesi: (a - b)² = a² + b² - 2ab
Üç terimin toplamının karesi: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
İki terimin toplamı veya farkının küpü: Birinci terimin küpü, birinci terimin karesi ile ikinci terimin çarpımının 3 katı, birinci terim ile ikinci terimin karesinin çarpımının 3 katı, ikinci terimin küpü bu ifadelerin toplanması ya da çıkarılması şeklinde olan ifadelerdir. Bu tarz açılımlara binom açılımı da denir.
İki terimin toplamının küpü: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
İki terimin farkının küpü: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
İki kare farkı özdeşliği: İki terim toplamı ile iki terim farkının çarpımının; birincisinin karesi ile ikincisinin farkına eşit olur. (a + b)(a - b) = a² - b².

Özdeşlikleri daha iyi anlamak için birkaç örnek çözelim.

Örnek: İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise bu sayıların çarpımı kaçtır?

Çözüm: x² + y² = (x + y)² - 2xy

2xy = 17² - 145

2xy = 289 - 145

2xy = 144

xy = 72

Sonuç: 72

Çarpanlara Ayırma Kuralları

Çarpanlara ayırmada bazı bilmemiz gereken kurallar vardır. Bunlar aşağıda verilmiştir:

Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma: Her terimde ortak olarak bulunan terimler parantez dışına alınır. Her terimin ortak çarpana bölümü de parantez içine alınır.

Örnek: 5a + 5b = 5(a + b)

Gruplandırma yaparak çarpanlara ayırma: Bütün terimlerde ortak çarpan yok ise işlemi kolaylaştırmak amacı ile ifadeleri ikişer ikişer, üçer üçer gruplandırma yaparak çarpanlara ayırırız.

Örnek: xy - xb - yb + b² = x(y - b) + b(b - y)

Bir terim ekleyip çıkararak çarpanlara ayırma: Verilen ifade çarpanlarına ayrılamıyor ise uygun bir terim ekleme çıkarma yöntemi ile tam kare veya iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir.
x² + bx + c şeklindeki üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırma

Çarpımları c olan, toplamları b olan iki tam sayı bulunur. Bu iki tam sayının çarpımları pozitif ise işaretleri aynı olur, eğer çarpımları farklı ise işaretleri farklı olur. Eğer bu iki sayının toplamları pozitif ise sayıların ikisinin işareti de pozitif olur. Eğer bu iki sayının toplamları negatif olursa sayıların ikisinin işareti de negatif olmalıdır. Çarpımları negatif toplamları pozitif olma durumlarında ise çarpım durumundaki sayıların büyük olanının işareti pozitif olmalıdır. Bu durumun tersi de geçerlidir. Yani çarpımları negatif toplamları negatif olma durumunda da çarpım durumundaki sayılardan büyük olanının işareti negatif olmak zorundadır. Bu durumu şöyle bir örnek vererek açıklayabiliriz.

Örnek: x² + 5x + 6 ifadesini çarpanlara ayıralım.

Çözüm: 6 sayısının çarpanlarını topladığımız zaman 5 sayısını elde etmemiz gerekmektedir. Bunun için 2 ve 3 sayılarını çarpan olarak kullanabiliriz. Bu durumda ifademiz (x + 3)(x + 2) şeklinde ifade edilebilir.

ax² + bx + c şeklindeki üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırma

Böyle durumlarda a ve c sayıları çarpanlarına ayrılır. a’nın çarpanlarına m ve n diyelim. c’nin çarpanlarına da k ve l diyelim. Eğer m ve l sayılarının çarpımının toplamı ile n ve k sayılarının çarpımının toplamı b sayısını veriyorsa ifadenin yazılımı (mx + k)(nx + l) şeklinde olmalıdır. Yani çapraz çarpıyor isek düz bir şekilde topluyoruz. Eğer düz çarpar isek çapraz şekilde toplamamız gerekir. Şimdi bu durumu bir örnek vererek açıklayalım.

Örnek: 6x² + 7x - 3 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm: 3 sayısını 3 ve (-1) şeklinde çarpanlarına ayırırız. 7 sayısı pozitif olduğu için büyük sayıya yani 3 sayısına pozitif işaret verdik. 6 sayısı çarpanlarına iki şekilde ayrılır. Bunlar 6 ve 1 sayıları ya da 3 ve 2 sayıları olarak ama 6 ve 1 sayılarını kullandığımız zaman 7 sayısına ulaşamayız. Bu yüzden 3 ve 2 sayılarını kullanırız. 3 ve 3 sayıların çarpımının sonucu 9 eder ve 2 ve (-1) sayıların çarpımının sonucu (-2) eder, son olarak da 9 ve (-2) sayılarını toplar isek 7 sayısına ulaşabiliriz. Bu durumda ifademizi (3x - 1)(2x + 3) şeklinde çarpanlarına ayırmış olarak yazabiliriz.

İyi Çalışmalar!